一元多项式环

概念与性质

定义（一些定义）：

• 设 $$(R, +, \cdot)$$ 是交换环，x 是一个变元，n 是非负整数，$$a_0, a_1, \cdots, a_n \in R$$，则 $$f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$$ 称为交换环 R 上的一元多项式。

• 其中 $$a_0, a_1, \cdots, a_n$$ 称为该多项式的系数，$$a_0$$ 称为常数项。

• 如果 $$a_n \not= 0$$，那么称 $$a_n$$ 为首项系数，n 称为一元多项式 f(x) 的次数，记做 $$\deg f(x) = n$$

• 所有交换环上的一元多项式组成的集合记做 R[x]。

定理：

• 设 $$(R, +, \cdot)$$ 是交换环，f(x) 和 g(x) 是 R[x] 中的两个非零多项式，则：
  1. $$f \times g = \text{零多项式}$$ 或者 $$\deg f \times g \le \deg f + \deg g$$
  2. 如果 $$(R, +, \cdot)$$ 是整环，那么 $$f \times g \not= \text{零多项式}$$ 且 $$\deg f \times g \le \deg f + \deg g$$

定义（一元多项式环）：

• $$(R, +, \cdot)$$ 是交换环，则称 $$(R[x], +, \times)$$ 为 R 上的一元多项式环。