一元多项式环

定义(一些定义):

  • (R,+,)(R, +, \cdot) 是交换环,x 是一个变元,n 是非负整数,a0,a1,,anRa_0, a_1, \cdots, a_n \in R,则 f(x)=a0+a1x++anxnf(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n 称为交换环 R 上的一元多项式

  • 其中 a0,a1,,ana_0, a_1, \cdots, a_n 称为该多项式的系数,a0a_0 称为常数项。

  • 如果 an0a_n \not= 0,那么称 ana_n 为首项系数,n 称为一元多项式 f(x) 的次数,记做 degf(x)=n\deg f(x) = n

  • 所有交换环上的一元多项式组成的集合记做 R[x]

定理:

  • (R,+,)(R, +, \cdot) 是交换环,f(x) 和 g(x) 是 R[x] 中的两个非零多项式,则:
    1. f×g=零多项式f \times g = \text{零多项式} 或者 degf×gdegf+degg\deg f \times g \le \deg f + \deg g
    2. 如果 (R,+,)(R, +, \cdot) 是整环,那么 f×g零多项式f \times g \not= \text{零多项式}degf×gdegf+degg\deg f \times g \le \deg f + \deg g

定义(一元多项式环):

  • (R,+,)(R, +, \cdot) 是交换环,则称 (R[x],+,×)(R[x], +, \times)R 上的一元多项式环
Powered By Valine
v1.5.0