子群

概念和性质

定义（子群）：

• $$(G, *)$$ 是一个群，子集 $$H \sub G$$，如果 H 对于运算 * 也构成群，则称 H 是 G 的子群，记为 $$H \le G$$。
• 又于 $${e}, G$$ 必是 G 的子群，我们称他们为平凡子群，否则为非平凡子群
• 如果群 $$H \not= G$$，我们称 H 为真子群，记为 $$H < G$$

定义（正规子群）：

• 设两个群满足 $$K \le G$$，如果对 $$\forall k \in K, g \in G \Rightarrow gkg^{-1} \in K$$，则 K 称为 G 的正规子群，记为 $$K \vartriangleleft G$$

定理：

• 任意交换群 G 的每个子群 K 都是正规子群

定理：

• 设 H 是 G 的子群，则以下条件等价：
  1. $$H \vartriangleleft G$$
  2. $$\forall g \in G, gHg^{-1} = H$$
  3. $$\forall g \in G, gH = Hg$$
  4. $$\forall g_1, g_2 \in G, g_1Hg_2H = g_1g_2H$$