陪集
定义（左陪集）：
- $$(G, \cdot)$$ 为群，$$H \le G, a\in G$$，我们用符号aH 来表示如下 G 的子集：$$aH = {ah | h \in H}$$。并且称这样的子集为子群 H 的左陪集。
定义（左陪集关系）：
- 设群 $$(H, \cdot)$$ 为群 $$(G, \cdot)$$ 的子群，我们确定 G 上的一个关系：$$a, b \in G, a \equiv b \Leftrightarrow a^{-1} \cdot b \in H$$，这个关系称作 G 上关于 H 的左陪集关系。
定理：
- 设群 $$(H, \cdot)$$ 为群 $$(G, \cdot)$$ 的子群，则 G 上关于 H 的左陪集关系是一个等价关系。
定义（等价类）：
- 群 $$(G, \cdot)$$ 的子群 $$(H, \cdot)$$ 所确定的左陪集关系对 G 划分等价类，我们将下面的等价类叫做以 a 为代表元的等价类
- $$[a] = {x | x \in G \and a \equiv x}$$
定理：
- 设群 $$(H, \cdot)$$ 为群 $$(G, \cdot)$$ 的子群，则有 $$[a] = aH$$
定理：
- 设群 $$(H, \cdot)$$ 为群 $$(G, \cdot)$$ 的子群，$$a, b \in G$$，则：
- $$aH = bH \Leftrightarrow b^{-1} \cdot a \in H$$，特别地，$$aH = H \Leftrightarrow a \in H$$
- 如果 $$aH \cap bH \not= \varnothing$$，那么 $$aH = bH$$
- 对 $$\forall a \in G, |aH| = |H|$$
定理（拉格朗日定理）：
- 设 $$(H, \cdot)$$ 为有限群 $$(G, \cdot)$$ 的子群，则 $$|H|$$ 为 $$|G|$$ 的因子。
商群
定义（商集）：
- 设群 $$(G, \cdot)$$ 有一个子群 $$(H, \cdot)$$，则 H 在 G 中两两不相交左陪集组成的集合 $${aH | a \in G}$$ 叫做 H 在 G 中的商集，记作 $$G / H$$；
- $$G / H$$ 中两两不相交的左陪集的个数叫做 H 在 G 中的指标，记为 $$[G:H]$$
定义（商群）：
- 设群 $$(G, \cdot)$$ 有一个正规子群 $$(N, \cdot)$$，$$T = G / N$$ 是 N 在 Ｇ 中的商集，
- 在商集 T 上定义二元运算 $$\odot$$：$$\forall a,b \in G, aN, bN \in T \Rightarrow aN \odot bN = (a \cdot b)N$$，则 $$(T, \odot)$$ 构成群，称这个群为商群。在不致混淆的情况下，我们将子群与商群中的运算都记作 $$\cdot$$