同态与同构
定义（同态）：
- $$(X, \cdot)$$ 与 $$(Y, *)$$ 是两个群，如果存在映射 $$x \rightarrow y$$，使得 $$\forall x_1, x_2 \in X$$，都有 $$f(x_1 \cdot x_2) = f(x_1) * f(x_2) $$，
- 则称 f 是从 $$(X, \cdot)$$ 到 $$(Y, *)$$ 的同态映射或称群 $$(X, \cdot)$$ 与群 $$(Y, *)$$ 同态，记作 $$(X, \cdot) \sim (Y, *)$$ 或 $$X \sim Y$$
- 一个群到自身的同态叫做自同态；
定义（同构）：
- 若同态映射 f 是单射，则称此同态为单同态；
- 若同态映射 f 是满射，则称此同态为满同态；
- 若同态映射 f 是双射，则称此同态为同构，记作 $$(X, \cdot) \cong (Y, *)$$，或者 $$X \cong Y$$；
- 一个群到自身的同构叫做自同构
定义（核与像）：
- 若两个集合满足 $$(S, \cdot) \sim (G, \odot)$$，e 和 e’ 分别为它们的单位元，同态映射 $$f: S \mapsto G$$
- 令集合 $$ker\ f = {a | a \in S \and f(a) = e’}$$ 称为同态 f 的核；
- 令集合 $$im\ f = f(S) = {f(a) | a \in S}$$ 称为同态 f 的像。
正规子群与商群
定义（自然同态）：
- $$(N, \cdot) \vartriangleleft (S, \cdot)$$，定义映射 $$f: S \rightarrow S/N, f(a) = aN$$，
- 则 f 是群 $$(S, \cdot)$$ 到其商群 $$(S/N, \odot)$$ 的一个同态映射，由 f 建立的从群 $$(S, \cdot)$$ 到群 $$(S/N, \odot)$$ 的同态叫做自然同态。
定理（同态基本定理）：
- 设 $$f: S \rightarrow G$$ 是群 $$(S, \cdot)$$ 到群 $$(G, \times)$$ 的同态映射，则存在 $$S / ker f$$ 到 $$im f$$ 的映射 $$h: S/ ker f \rightarrow im f$$，使得 $$(S / ker f, \odot) \cong (im f, \times)$$