交换环和域

交换环

定义（环）：

• 设 R 是一个给定的集合，在其上定义了两种运算 $$+, \cdot$$，如果满足以下条件，则 $$(R, +, \cdot)$$ 构成一个环：
  1. $$(R, +)$$ 是一个交换群，其上的单位元被零元，元素在 + 上的逆元被称为负元；
  2. $$(R, \cdot)$$ 是一个半群，其上的单位元被称为幺元。
  3. + 关于 $$\cdot$$ 满足分配率，即 $$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$。
• 如果 $$(R, \cdot)$$ 满足交换率，则该环被称为交换环。

定义（子环）：

• 如果交换环 R 的一个一个子集 S 满足如下的三个条件，则称 S 是 R 的子环：
  1. $$I \in S$$
  2. 如果 $$a, b \in S$$，则 $$a - b \in S$$
  3. 如果 $$a, b \in S$$，则 $$ab \in S$$

整环

定义（零因子）：

• 一个非零元素 a 是一个左零因子，当且仅当存在一个非零元素 b，使得 ab=0。同样可以定义右零因子。左零因子与右零因子统称为零因子。

定义（整环）：

• 交换环 $$(R, +, \cdot)$$ 中至少有两个元素（其中一个是零元、另一个是幺元），且 R 中没有零因子，则我们称这样的交换环为整环。

定义（真因子）：

• $$(R, +, \cdot)$$ 是交换环，$$a, b \in R, b \not= 0$$。如果存在一个元素 $$c \in R$$，使得 $$a = b \cdot c$$，则称 b 整除 a 或者 b 被 a 整除，记做 b | a。把 b 称作 a 的因子，a 称为 b 的倍元。
• 如果 b, c 都不可逆，则 b 称为 a 的真因子。

一个定义：线性组合、相伴元素、不可约元素

域

定义（域）：

• 设 $$(F, +, \cdot)$$ 是一个非零交换环，如果它的每个非零元素都是可逆元素，那么它称为域。