理想
定义（理想）：
- 设 $$(R, +, \cdot)$$ 是一个交换环，I 是 R 的子集，使得：
- $$0 \in I$$；
- $$\forall a, b \in I \Rightarrow a+b \in I$$；
- $$\forall a \in I, r \in R \Rightarrow ra \in I$$；
- 则将 I 称为 R 的理想，显然 R 的两个平凡子环都是 R 的理想，称为 R 的平凡理想。非平凡理想称为真理想。
定理：
- 设 f 是交换环 S 到交换环 G 的同态映射，则
im f是 G 的子环，ker f是 S 的理想。
定义（主理想）：
- $$(R, +, \cdot)$$ 是一个交换环，H 是 R 的非空子集，$$(H_i | i \in N)$$ 是 R 的所有包含集合 H 的理想，即 $$H \subseteq H_i (i \in N)$$。
- 则考虑集合 $$\cup_{i \in N} H_i$$ 称作由子集 H 生成的理想，记做 (H)，H 中的元素称作理想 (H) 的生成元。
- 由一个元素生成的理想 (a) 称作主理想。
定义（主理想环）：
- 如果交换环 $$(R, +, \cdot)$$ 的所有理想都是主理想，则交换环 R 称为主理想环。
商环
定理：
- 设 $$(R, +, \cdot)$$ 为交换环，H 是它的理想，再设 T 是加法群 (R, +) 关于其子群 (H, +) 的所有不同陪集组成的集合，即商群 $$T = R/H = {a + H | a \in R}$$，则 $$(R, \oplus, \odot)$$ 构成交换环。
- $$(a + H) \oplus (b + H) = (a+b) + H$$
- $$(a + H) \odot (b + H) = (a \cdot b) + H$$