数制与编码

学习途径：

• 欧阳星明、华中科技大学出版社 《数字逻辑》

数制与转换

广义的说，一种进位数制包含着基数和位权两个基本要素：

• 基数：是指计数制中所用到的数字符号的个数。基数为 R 的计数制称为 R 进位计数制，简称 R 进制。

• 位权：在一种进位计数制表示的数中，用来表示不同数位上数值大小的一个固定常数。

一般来说，一个 R 进制数 N 可以有以下两种表示方法：

• 并列表示法，又称为位置计数法，其表达式为：$$(N)R = (K{n-1}K_{n-2}…K_1K_0 . K_{-1}…K_{-m})_R$$
• 多项式表示法，又称按权展开法，其表达式为：$$\displaystyle (N)R = \sum{i=-m}^{n-1} K_iR^i$$

带符号二进制数的表示

原码

二进制小数 $$X = \pm 0.x_{-1}x_{-2}…x_{-m}​$$，原码定义为：$$\displaystyle [X]_{原} = \begin{cases} X &, 0 \le X < 1 \ 1 - X &, -1 < X \le 0\end{cases}​$$

二进制整数 $$X = \pm x_{n-1}x_{n-2}…x_0​$$，原码定义为：$$\displaystyle [X]_{原} = \begin{cases} X &, 0 \le X < 2^n \ 2^n - X &, -2^n < X \le 0\end{cases}​$$

反码

二进制小数 $$X = \pm 0.x_{-1}x_{-2}…x_{-m}$$，反码定义为：$$\displaystyle [X]_{反} = \begin{cases} X &, 0 \le X < 1 \ (2 - 2^{-m}) + X &, -1 < X \le 0\end{cases}$$

二进制整数 $$X = \pm x_{n-1}x_{n-2}…x_0$$，原码定义为：$$\displaystyle [X]_{反} = \begin{cases} X &, 0 \le X < 2^n \ 2^{n+1} - 1 + X &, -2^n < X \le 0\end{cases}$$

补码

二进制小数 $$X = \pm 0.x_{-1}x_{-2}…x_{-m}$$，补码定义为：$$\displaystyle [X]_{补} = \begin{cases} X &, 0 \le X < 1 \ 2 + X &, -1 \le X < 0\end{cases}$$

二进制整数 $$X = \pm x_{n-1}x_{n-2}…x_0$$，原码定义为：$$\displaystyle [X]_{补} = \begin{cases} X &, 0 \le X < 2^n \ 2^{n+1} + X &, -2^n \le X < 0\end{cases}$$

几种常用的编码

十进制数的二进制编码

BCD 码：二-十进制代码（Binary Coded Decimal）使用 4 位二进制代码对十进制数字符号进行编码。

常用的三种 BCD 码，表示表格如下：

• 对于 2421 码：$$X = 2a_3 + 4a_2 + 2a_1 + a_0$$。其不具有单值性，因此不允许出现 $$0101 \sim 1010$$ 之间的数字。

可靠性编码

格雷码（Gray Code）：任意两个相邻的数，其格雷码仅有一位不同。

格雷码可以从普通二进制数计算得到：

• 设二进制数 $$B = B_{n-1}B_{n-2}…B_0$$，其格雷码为 $$G = G_{n-1}G_{n-2}…G_0$$
• 用以下的关系可以由 B 推导 G：$$\displaystyle \begin{cases} G_{n-1} = B_{n-1} \ G_i = B_{i+1} \oplus B_i, 0 \le i \le n-2\end{cases}$$

典型格雷码对应表如下：

奇偶校验码（Parity Check Code）：一种能检测出错误的代码。

奇检验码使总体的 1 比特位数为奇数，即：$$Code_{奇检验}(n) = \begin{cases} 1, Bit1Amout(n) \in {偶数} \ 0, Bit1Amout(n) \in {奇数}\end{cases}$$，偶检验码同理

下表为 8421 码对应的就检验码：