随机过程

定义

随机过程（Stochastic Process）的定义：

• 设随机试验 E 的样本空间 $$S \in {\xi}$$ 若对于每个元素 $$\xi \in S$$ 总有一个确知的时间函数 $$X(t, \xi) t \in Ts,$$ 与它对应，对于所有的，就可以得到一簇时间 t 的函数，称它为随机过程。簇中的每一个函数称为样本函数。
• 若对于每个特定的时间 $$t_i(i = 1,2,…)$$，都是随机变量，则称 $$X(t, \xi)$$ 为随机过程，$$X(t_i, \xi)$$称为随机过程 $$X(t)$$ 在 $$t = t_i$$ 时刻的状态。

即有：

概率分布

一维概率分布

记 $$F(x_i; t_i) = P(X(t_i) \le x_i )$$ 为随机过程 $$X(t)$$ 的一维分布函数。若 $$F(x, t)$$ 的偏导数存在，则有 $$\displaystyle f_X(x_i, t_i) = \frac{\part F_X(x_i, t_i)}{\part x_i}$$

二维概率分布

为了描述 S，P 在任意两个时刻 $$t_1$$ 和 $$t_2$$ 的状态间的内在联系,可以引入二维随机变量 $$[X(t_1),X(t_2)]$$ 的分布函数$$F_X(x1,x2;t1,t2)$$，它是二随机事件 $${X(t_1) \le x_1}, {X(t_2) \le x_2 }$$ 同时出现的概率，

即：$$F_X(x1,x2;t1,t2) = P(X(t_1) \le x_1, X(t_2) \le x_2)$$ 称为随机过程 $$ X(t) $$ 的二维分布函数。

若 $$F_X(x1,x2;t1,t2)$$ 对 $$x_1, x_2$$ 的混合偏导存在，则称：$$\displaystyle f_X(x1,x2;t1,t2) = \frac{\part^2F_X(x1,x2;t1,t2)}{\part x_1 \part x_2}$$ 为随机过程 $$X(t)$$ 的二维概率密度。

n 维概率分布

（懒得写了）

数字特征

1. 均方值与方差：

   • 把 $$X(t)$$ 二阶原点矩称为随机过程的均方值。即：$$\displaystyle \Psi^2_X(t) = E(X^2(t)) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2f_X(x;t)dx$$

   • 把 $$X(t)$$ 二阶中心矩称为随机过程的方差。即：$$\displaystyle \sigma^2_X(t) = D(X(t)) = E(X^2(t)) - E^2(X(t)) = \Psi^2_X(t) - \mu_X^2(t)$$

2. 自相关函数：

   • 对于随机过程 $$X(t) $$，定义其自相关函数：$$\displaystyle R_{XX}(t_1, t_2) = E(X(t_1)X(t_2))$$
   • $$t_1 = t_2$$ 时的自相关函数是随机过程的均方值。

3. 自协方差函数:

   • 对于随机过程 $$X(t) $$，定义其自协方差函数：$$C_{XX}(t_1, t_2) \ = E[(X(t_1) - \mu_X(t_1))(X(t_2) - \mu_X(t_2))] \ = R_X(t_1, t_2) - \mu_X(t_1)\mu_X(t_2)$$

   • $$t_1 = t_2$$ 时的自相关函数是随机过程的方差。

4. 互相关函数:

   • 对于不同的随机过程 $$X(t)$$ 和 $$Y(t)$$，则定义其互相关函数：$$R_{XY}(t_1, t_2) = E[X(t_1)Y(t_2)]$$

5. 互协方差函数：

   • 对于不同的随机过程 $$X(t)$$ 和 $$Y(t)$$，则定义其互协方差函数：$$C_{XY} (t_1, t_2) = E[(X(t_1) - \mu_X(t_1))(Y(t_2) - \mu_Y(t_2))]$$

   • 可以证明：$$C_{XY}(t_1, t_2) = R_{XY}(t_1, t_2) - \mu_X(t_1)\mu_Y(t_2)$$