判断题
1
设有分布律 $${\displaystyle P(X = (-1)^{n+1} \frac{2^n}{n}) = \frac{1}{2^n}}$$，则 X 的数学期望存在。
错误。
数学期望定义：
设离散型随机变量 X 的分布律为：$$P(X = x_k) = p_k$$
若级数 $${\displaystyle \sum_{k=1}^{\infin} x_k p_k}$$ 绝对收敛，则称 $${\displaystyle \sum_{k=1}^{\infin} x_k p_k}$$ 的和为随机变量 X 的数学期望，记为 $$E(X)$$
即有：$$E(X) = {\displaystyle \sum_{k=1}^{\infin} x_k p_k}$$
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)
若积分 $${\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx}$$ 绝对收敛，则称积分 $${\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx}$$ 的值为随机变量 X 的数学期望，记为 $$E(X)$$
即 $$E(X) ={\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx}$$
注意到，数学期望要求绝对收敛，原因：https://math.stackexchange.com/questions/239949/why-do-we-require-absolute-convergence-in-the-definition-of-expectation
2
在假设检验中，显著性水平 $$\alpha$$ 是指：$$P(拒绝 H_0 \mid H_0 为假) = 1 - \alpha$$
错误。
概念：
$$H_0$$ 原假设或零假设
$$H_1$$ 备选假设或对立假设
$$\alpha $$ 是犯弃真错误的概率
$$\beta$$ 是犯取伪错误的概率
即如下表格：
| $$H_0$$ 成立 | $$H_1$$ 成立 | |
|---|---|---|
| 接收 $$H_0$$ | 不犯错 | 第 II 类错误（取伪错误 $$\beta$$） |
| 拒绝 $$H_0$$ | 第 I 类错误（弃真错误 $$ \alpha $$） | 不犯错 |
选择题
1
设二维随机变量 $$(X,Y) \sim N(0, 0.5; 0, 0.5; 0)$$，$$Z = X - Y$$，则方差 $$D(|Z|)$$ 等于：
A. 0 B. 1 C. $$1 + {\displaystyle \frac{2}{\pi}}$$ D. $$1 - {\displaystyle \frac{2}{\pi}}$$
D
$$\rho = 0 \Rightarrow Cov(X, Y) = 0 \Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) = 0 \Rightarrow$$ X，Y 相互独立
$$E(Z) = E(X) - E(Y) = 0, D(Z) = D(X) - D(Y) = 1 \Rightarrow Z \sim N(0,1)$$
因此可以求出：
$${\displaystyle E(|Z|) = \int_{-\infty}^{+\infty}|z|\cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{z^2}{2}} dz}$$
$${\displaystyle = \frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int_0^{+\infty} z \cdot e^{-\frac{z^2}{2}} dz}$$
$${\displaystyle = \frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \cdot (-e)^{-\frac{z^2}{2}} \Big|_0^{+\infty} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} }$$
$${\displaystyle E({|Z|}^2) = \int_{-\infty}^{+\infty}z^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{z^2}{2}} dz }$$
$${\displaystyle= - \frac{z}{\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{z^2}{2}} \Big|{-\infty}^{+\infty} + \int{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{z^2}{2}} dz}$$
$${\displaystyle = 0 + 1 = 1 }$$
$${\displaystyle D(|Z|) = E(|Z|^2) - (E(|Z|))^2 = 1 - \frac{2}{\pi} }$$
2
设总体 $$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$，$$\mu$$ 为未知参数，样本 $$X_1, X_2, …, X_n$$ 的方差为 $$S^2$$，对于假设检验 $$H_0: \sigma \ge 2, H_1: \sigma \lt 2$$，显著性水平 $$\alpha$$ 的拒绝域为：
$$(A). {\displaystyle \chi^2 = \chi_{1 - \frac{\alpha}{2}}^2(n-1)}$$
$$(B). {\displaystyle \chi^2 = \chi_{1 - \alpha}^2(n-1)}$$
$$(C). {\displaystyle \chi^2 = \chi_{1 - \frac{\alpha}{2}}^2(n)}$$
$$(D). {\displaystyle \chi^2 = \chi_{1 - \alpha}^2(n)}$$
B
因为 $$\mu$$ 未知，所以检验所用的统计量以及其服从的分布是：
$${\displaystyle \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)}$$