矩阵消元法与行列式一样都是可以用于解决方程组的方式。
矩阵消元法的步骤如下：
- 考虑系数矩阵，按行自上而下通过与之前行的加减法运算，将
pivot（对角线上的元素）左侧的所有元素运算为 0；运算结束后可以得到一个上三角矩阵，记为U； - 对右侧向量做相同的运算，按行自下而上回带计算可以得到所有的未知数；
概念增广矩阵（augmented matrix）：考虑所有系数和结果向量的一个大矩阵；
Simple operation of matrix:
Matrix * Vector: Result in a column, linear combination of the columns of the matrix;Vector * Matrix: Result in a row, linear combination of the rows of the matrix;
矩阵消元法中的步骤，行之间的“加减法运算”就可以用矩阵乘法表示。比如某一个操作“将第二行减去第一行的 3 倍”，这一操作就可以用这样一个矩阵表示：$$\pmatrix{1 &0 &0 \ -3 &1 &0 \ 0 &0 &1}$$，它的含义为：
- 第一行保持不变，即线性组合 $$ 1 * row_1 + 0 * row_2 + 0 * row_3 $$；
- 第二行减去第一行的三倍，即线性组合 $$-3 * row_1 + 1 * row_2 * 0 * row_3$$；
- 第三行保持不变，即线性组合 $$0 * row_1 + 0 * row_2 + 1 * row_3$$
矩阵乘法运算的重要性质：不满足交换律、满足结合律；
Identity Matrix：单位矩阵；
Permutation Matrix：乘以一个矩阵之后能得到这个矩阵行或列的排列；