乘法
矩阵乘法的规则，对于运算 $$A * B = C$$：
C 中的元素值 $$C_{ij} = \sum_{k = 1}^n A_{ik} * B_{kj}$$；
乘法可以运算的前提条件：A 的列数等于 B 的行数；
其他理解矩阵乘法的方式：
- C 中的任意一行：B 的所有行的线性组合；
- C 中的任意一列：A 的所有列的线性组合；
- C 是：“A 的所有列与B 的所有行的乘积”的和；
分块乘法：$$\pmatrix{A_1 &A_2 \ A_3 &A_4} * \pmatrix{ B_1 &B_2 \ B_3 &B_4 } = \pmatrix{A_1B_1 + A_2B_3 &A_1B_2 + A_2B_4 \ A_3B_1 + A_4B_3 &A_3B_2 + A_4B_4}$$
矩阵的逆
什么是矩阵的逆：
- 对于一个矩阵 A，它的逆为 $$A^{-1} A = I$$
一个不是特别容易证明的性质：对于一个方型矩阵，它的左逆总是等于右逆；
如果一个矩阵的逆存在，那么这个矩阵被称为可逆的（invertible）、非奇异的（non-singular）；
没有逆的矩阵，或者奇异矩阵：
- 如果考虑这个矩阵的行列式，会发现它的值为 0；
- 矩阵中的列通过任何方式的线性组合，不可能得到单位矩阵中的列；但是可以找到一个线性组合使其为 0 向量，也就是说存在这样的 X 使得 $$A X = 0$$
Gauss-Jordan 方法求一个矩阵的逆：
- 考虑增广矩阵 $$\pmatrix{A &I}$$，经过行变换得到 $$\pmatrix{I &A^{-1}}$$；
- 证明很简单：行变化可以视作左乘若干个矩阵，利用结合律将其视作为 E，则 $$E \pmatrix{A &I} = \pmatrix{EA &E}$$