AB 的逆：$$B^{-1} A^{-1}$$
转置的逆，$$A^T$$ 的逆是 $$(A^{-1})^T$$
矩阵的 LU 分解：
- 任意一个矩阵 A 表示一定可以表示为两个矩阵 L、U 的乘积，其中 L 是一个下三角矩阵、 U 是一个上三角矩阵；
消元法中，已经知道：
矩阵 A 可以通过左乘若干个行变化操作矩阵，可以得到一个上三角矩阵，即 $$E_{n(n-1)}\cdots E_{21}A = U$$；
由上面的公式可以得到：$$L = E_{21}^{-1} \cdots E_{n(n-1)}^{-1}$$，是一个下三角矩阵；
对于每一个行操作的逆也是很好求的，它的对角线是 1，一个位置有操作数 x，其他位置都是 0，它的逆就是将对应位置的操作数改写成 -x 即可；
这个方法需要的时间复杂度是 $$O(n^2 \cdot n)$$
Permutation Matrix:
- For matrix size $$n \times n$$, there are $$n!$$ different permutation matrices;
- Mutiplation of two permutation matrix will result in a permutation matrix;
- Inverse of permutaion matrix: $$P^{-1} = P^{T}$$
- 比如以下的矩阵就是一个 $$3 \times 3$$ 的排列矩阵：$$\pmatrix{ 0 &1 &0 \ 1 &0 &0 \ 0 &0 &1}$$，用这个矩阵左乘任意一个矩阵 A，相当于交换了该矩阵 A 的第一行和第二行；
上面的 A=LU 公式分解中存在一个问题：
- 消元法除了左乘行的线性组合之外，还会进行行置换，也就是左乘一个排列矩阵（Permutation Matrix）
- 设这个行置换矩阵为 P，那么分解可以表示为 $$PA = LU$$