向量空间（Vector Spaces）：$$R^n$$ 是有 n 个分量的典型向量空间。
子空间（Subspace）：
- 某个向量空间中的部分向量组成的子空间，子空间内的向量加法、数乘仍然在子空间内。
$$R^2$$ 中的子空间有：
- $$R^2$$ 本身；
- 一个过原点的直线构成的点集就是一个子空间；
- 零向量单独构成的集合；
依次类推，$$R^3$$ 中的子空间有：
- $$R^3$$ 本身；
- 一个过原点的直线构成的点集；
- 一个过原点的平面构成的点集；
- 零向量单独构成的集合；
子空间和矩阵的关系：
- 一个矩阵的所有列的线性组合可以构成一个子空间（Column Space, C(A)）；
- 一个 $$R^n$$ 子空间可以用一个 $$n \times x$$ 的矩阵表示；
性质：两个子空间（S、T）的交集（$$S \cap T$$）也是一个子空间。证明是简单的。
问题，考虑一个 $$4 \times 3$$ 的矩阵 $$A_{4 \times 3}$$：
- A 构成的列空间 C(A) 可以表示整个 $$R^n$$ 空间吗？
- 这个问题等价于：对于任意的右值 b，方程 $$A x = b$$ 总是有解吗？
- 一个衍生的问题：什么样的右值 b，能够使得方程 $$Ax = b$$ 对于 x 有解？
- 答案：$$Ax =b$$ 有解，当且仅当 b 在 A 的列空间 C(A) 中。
零空间（null space）：由方程中 x 的解构成的子空间而不是列的线性组合：
对于给定的矩阵 A，方程 $$Ax = 0$$ 中所有 x 的解构成的空间称作为零空间（Null Space, N(A)）。
比如对于矩阵 $$A = \pmatrix{ 1 &1 & 2 \ 2 &1 &3 \ 3 &1 &4 \ 4 &1 &5}$$，它的零空间为 $$N(A) = \pmatrix{x_1 \ x_2 \ x_3} = c \pmatrix{1 \ 1 \ -1}$$
PS：如果方程的右侧不是零向量则解不构成子空间，但是解仍然是一条直线。